Наскоро бях върнат във втори курс. Сервираха ми, че трябва да уча техническа електродинамика, а нея не можеш да я научиш без да знаеш какво означават тези уравнения. Аз, като най-обикновен студент, недолюбвам анализа, естествено, което ме кара да се стресна като видя това:
$$\int_{\partial A} \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r}, t)\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{s} = -\int_A \frac{\partial{\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}, t)}}{\partial t}\cdot d \overrightarrow{A}$$
$$\int_{\partial A} \overrightarrow{H}(\overrightarrow{r},t)\cdot d \overrightarrow{s} = \int_{A} \Bigg ( \frac{\partial \overrightarrow{D} (\overrightarrow{r},t)}{\partial t} + \overrightarrow{J}(\overrightarrow{r},t) \Bigg )\cdot d\overrightarrow{A}$$
$$\int_{\partial{V}} \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r}, t)\cdot d\overrightarrow{A} = \int_V \rho(\overrightarrow{r}, t) dV$$
$$\int_{\partial{V}} \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}, t)\cdot d\overrightarrow{A} =0$$
Показаните по-горе уравнения са всъщност уравненията на Максуел в интегрална форма. Първото е законът на Фарадей. Второто – този на Ампер, а третото – на Гаус. Четвъртото уравнение било закона на Гаус за магнетизма. В тази им форма, не ми говорят много. Това, което мога да заключа от тях е:
- интензитета на електрическото поле \(\big (\overrightarrow{E}\big )\) зависи от изменението на магнитната индукция \(\big (\overrightarrow{B}\big )\)
- интензитета на магнитното поле \(\big (\overrightarrow{H}\big )\) е зависимо от електрическата индукция \(\big (\overrightarrow{D}\big )\) и плътността на тока \(\big (\overrightarrow{J}\big )\) ,
- електрическата индукция \(\big (\overrightarrow{D}\big )\) се определя от обемната плътност на електрическите заряди – \(\rho\),
- интегралът на магнитната индукция \(\big (\overrightarrow{B}\big )\) по повърхността на даден обем е 0, т.е. каквото влезе в обема, трябва и да излезе. С други думи – няма магнитен заряд.
Изглежда вторите две уравнения са ясни, дори и в тази форма. Какво обаче означават първите две? Това беше доста трудно за разбиране. Трябваше да видя уравненията в друга форма – диференциална:
$$rot\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=-\frac{\partial \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}, t)}{\partial t}$$
$$rot\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r},t)=\frac{\partial \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r}, t)}{\partial t} + \overrightarrow{J}(\overrightarrow{r}, t)$$
$$div \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r}, t) = \rho (\overrightarrow{r}, t)$$
$$div \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}, t) =0$$
Тук вече си личи кое уравнение какво показва.
Законът на Фарадей
$$rot\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=-\frac{\partial \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}, t)}{\partial t}$$
Той ни показва, че при промяна на магнитната индукция се появява електрическо поле, в равнина перпендикулярна на посоката на магнитните силови линии. Отрицателният знак пред частичния диференциал на магнитната индукция показва посоката на електрическото поле.
Е да де, ама нали електрическото поле било перпендикулярно на магнитното!? Как тогава един минус ще покаже посоката? Тук идва на помощ този оператор пред \(\overrightarrow{E}\) – ротация. Резултатът от този оператор е вектор. Този вектор е ортогонален на равнината, в която е разположен векторът, който е подаден като аргумент. Понеже последните две изречения са сложни ще кажа, че резултатът от операторът ротация е перпендикулярен на векторът на интензитета на електрическото поле.
Тогва минусът пред диференциала на магнитната индукция показва, че тя и резултатът от \(rot \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r}, t)\) са срещуположни.
Законът на Ампер
$$rot\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r},t)=\frac{\partial \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r}, t)}{\partial t} + \overrightarrow{J}(\overrightarrow{r}, t)$$
Прилича до голяма степен на този на Фарадей. Всъщност ни дава връзката между интензитета на магнитното поле и електрическата индукция. Като разгледаме дясната част на равенството лесно се вижда, че интензитета на магнитното поле е зависим от две величини – изменението на електрическата индукция и плътността на тока.
Излиза, че ако една от двете величини е 0, все пак ще има магнитно поле. Ако изменението на електрическата индукция е 0, значи имаме постоянен ток. В този случай магнитното поле е зависимо само от плътността на този ток. Ако пък плътността на тока е 0, значи нямаме ток. Това се получава, когато нямаме проводник, който да канализира електрическото поле (във вакуум например). В този случай магнитното поле зависи само от изменението на електрическото поле => ако то е постоянно, нямаме магнитно поле. Ако и двете величини са налични, имаме променливо магнитно поле.
Както и при законът на Фарадей, векторът, който се получава в следствие на прилагането на оператора ротация и векторът от другата страна на равенството са равни по големина, но при законът на Ампер, те са еднопосочни (Нямаме знак минус пред електрическите величини).
Закон на Гаус
$$div \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r}, t) = \rho (\overrightarrow{r}, t)$$
Тъй като дивергенцията ни показва плътност на изходящия поток на дадено поле, уравнението ни показва, че електрическата индукция е право пропорционална на плътността на електрическия заряд. Просто и ясно (или поне така ми изглежда).
Закон на Гаус за магнетизма
$$div \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}, t) =0$$
Този ми е любим. Много е готин! Прост и лесен. Дивергенция от магнитната индукция е 0! Чудно!
Това означава, че колкото магнитни силови линии влизат в един обем, толкова и излизат. Разликата с предшиния е, че тук нямаме заряд, който да генерира полето.
Тъй като този пост стана твърде дълъг, смятам да приключа тук. Има още много да се говори за тези уравнения, и аз смятам, че ще сколасам да напиша още нещо по въпроса. Най-вероятно ще трябва да обясня как от 4 уравнения ще намерим 6 величини. В противен случай приказките до тук ще са безсмислени.
Поздрави,